Menge (Mathematik)

File:Example of a set.svg

Eine Menge von Vielecken

File:Example of an emptyset.jpg

Die Menge von ebenen Vielecken mit weniger als drei Ecken enthält keine Elemente: sie ist leer.

Als Menge wird in der Mathematik ein abstraktes Objekt bezeichnet, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl von einzelnen Elementen hervorgeht (diese Anzahl kann von Null über ein oder mehrere Elemente bis zu unendlich vielen reichen). Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik; mit ihrer Betrachtung beschäftigt sich die Mengenlehre.

Bei der Bildung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es muss für jedes Objekt zweifelsfrei feststehen, ob es zur Menge gehört oder nicht (wird diese Bedingung aufgeweicht, gelangt man auf den nichtklassischen Begriff einer Fuzzy-Menge). Der Grenzfall einer Menge, die null Elemente enthält, heißt „leere Menge“. Im Gegensatz zu der Vielzahl sonstiger Mengen, gibt es nur genau eine leere Menge.

Beim Begriff der Menge bleibt außer Betracht, ob es unter den Elementen zusätzlich irgendeine Ordnung geben könnte, Mengen sind zunächst ungeordnete Gebilde. Ist eine Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, dann spricht man stattdessen von einer endlichen oder unendlichen Folge, wenn sich die Folgenglieder mit den natürlichen Zahlen aufzählen lassen (das erste, das zweite usw.). Endliche Folgen heißen auch Tupel. In einem Tupel oder einer Folge können Elemente auch mehrfach vorkommen, da in der Hauptsache eine Anzahl von Plätzen vergeben wird, die zu besetzen sind. In einer Menge ist dies nicht der Fall, hier geht es nur darum, ob ein bestimmter Gegenstand enthalten oder nicht enthalten ist. Daher gibt es keine Möglichkeit, dass eine Menge ein Element „mehrmals enthalten“ könnte. (Wenn ein Konstrukt gewünscht ist, das wie eine Menge Elemente enthält und zusätzlich eine bestimmte Anzahl von Exemplaren jedes Elements vorsieht, so heißt dies eine Multimenge).

In der Mathematik werden häufig Mengen betrachtet, die als ihre Elemente Zahlen oder Punkte eines Raumes enthalten. Das Konzept ist aber auf beliebige Objekte anwendbar: z. B. in der Statistik auf Stichproben, in der Medizin auf Patientenakten, am Marktstand auf eine Tüte mit Früchten. Sogar Mengen können als Elemente einer anderen Menge dienen. Die Elemente einer Menge müssen auch nicht von gleichartiger Sorte sein: Möglich ist z. B. auch die Menge, die aus einem Apfel, der Zahl Fünf, dem Patienten Maier und der leeren Menge besteht (eine Menge aus 4 Elementen). Eine Menge kann, wie im Beispiel soeben, durch reine Aufzählung ihrer Elemente definiert sein, sie kann aber auch durch eine Beschreibung gegeben sein, die die infrage kommenden Elemente allgemein charakterisiert (in diesem Fall ergibt sich eine einheitliche Sorte von Elementen).

Begriff und Notation von Mengen

File:Veranschaulichung einer Menge.svg

Menge als gedankliche Zusammenfassung von Objekten

Der Begriff Menge geht auf Bernard Bolzano und Georg Cantor zurück. In Bolzanos Manuskripten aus den Jahren zwischen 1830 und 1848 heißt es: „Inbegriffe nun, bey welchen auf die Art, wie ihre Theile mit einander verbunden sind, gar nicht geachtet werden soll, an denen somit Alles, was wir an ihnen unterscheiden, bestimmt ist, sobald nur ihre Theile [selbst] bestimmt sind, verdienen es eben um dieser Beschaffenheit willen, mit einem eigenen Nahmen bezeichnet zu werden. In Ermangelung eines andern tauglichen Wortes erlaube ich mir das Wort Menge zu diesem Zwecke zu brauchen;“. Cantor beschrieb eine Menge „naiv“ (siehe aber auch Cantors Mengenaxiome) als eine „Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“. Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Weder der Begriff „Menge“ noch der Begriff „Element“ werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert. Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf den Zermelo-Fraenkel-Axiomen (oder: ZFA), Neumann-Bernays-Gödel-Axiomen oder anderen Axiomensystemen. Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen; allerdings führt der Begriff „die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ zu einem Widerspruch, der Russell’schen Antinomie; ebenso wie „die Menge aller Mengen“.

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse (als Einzelne abgrenzbare) Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern der Inhalt eines Behältnisses, das keine der für es als Inhalt vorgesehenen Dinge enthält. Das „Behältnis“ selbst verweist nur auf die bestimmte zusammenzufassende Sorte und Art von Elementen. Diese Vorstellung hat aber ihre Grenzen. Ein Behältnis bleibt nämlich dasselbe, auch wenn man seinen Inhalt ändert. Dies ist bei Mengen anders: Diese ändern ihre Identität, wenn man neue Elemente hinzufügt oder bestehende entfernt. Insofern ist es besser, wenn man sich die Menge als „Inhalt eines Behältnisses“ vorstellt.

• Eine Beispielmenge von Polygonen
  Eine Beispielmenge von Polygonen
• Dieselbe Menge als Behältnis
  Dieselbe Menge als Behältnis
• Menge als Inhalt eines Behältnisses
  Menge als Inhalt eines Behältnisses

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa $M=\{{\text{blau}},\,{\text{gelb}},\,{\text{rot}}\}$, wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird. Das heißt, es gilt beispielsweise $\{{\text{blau}},\,{\text{rot}},\,{\text{gelb}}\}=\{{\text{blau}},\,{\text{gelb}},\,{\text{rot}}\}=\{{\text{blau}},\,{\text{blau}},\,{\text{gelb}},\,{\text{rot}}\}$. Statt Kommata werden häufig als Trennzeichen für die Elemente Semikola benutzt, um eine mögliche Verwechslung mit Dezimalzahlen zu verhindern.

Oft ist es praktisch oder prinzipiell (bei unendlichen Mengen) unmöglich, die Elemente einer Menge aufzuzählen. Es gibt aber eine andere Notation, in der die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt werden, zum Beispiel $M=\{x\,|\,x\,{\text{ ist eine Grundfarbe}}\}$. (Sprich: „M ist die Menge aller x für die gilt: ‚x ist eine Grundfarbe‘.“)

Daneben prägte Dedekind das Synonym des Systems, zu welchem er Elemente zusammenfasste. Diese Bezeichnung ist heute noch teilweise üblich, so nennt man eine „Menge von Vektoren“ auch kurz ein Vektorsystem.

Andere Schreibweisen

Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen werden:

• Die aufzählende Schreibweise Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M=\{{\text{blau}},\,{\text{gelb}},\,{\text{rot}}\}} kann als eine Abkürzung für die umständliche Schreibweise $M=\{x\,|\,x={\text{blau oder}}\;x={\text{gelb oder}}\;x={\text{rot}}\}$ verstanden werden.
• Bei der Schreibweise mit Auslassungspunkten werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: $M=\{3,6,9,12\dots 96,99\}$. Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als $M=\{x\,|\,x\;{\text{ist eine durch 3 teilbare Zahl zwischen 1 und 100}}\}$ schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt $G=\{4,6,8,10\dots \}$ die Menge der geraden natürlichen Zahlen, die größer sind als 2.
• Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie aus $A$ und $B$ die Schnittmenge $M=A\cap B$. Diese kann intensional geschrieben werden als $M=\{x\,|\,x\;{\text{ist in }}A{\text{ und }}x{\text{ ist in }}B\}$.
• Ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen, bei welcher mindestens ein Grundelement explizit angegeben wird und dann mindestens eine Regel, wie aus einem Element ein weiteres Element abgeleitet werden kann. So kann die obige Menge $G$ ebenfalls beschrieben werden durch

i) $4$ ist in $G$ und

ii) für jedes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} in Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} ist auch $(x+2)$ in Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} und

iii) nur Elemente, die durch i) und (keine, einmalige oder wiederholte) Anwendung von ii) erhalten werden, sind in Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} .

Mächtigkeit

Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit (oder Kardinalität) gleich der Anzahl der Elemente der Menge; das ist eine natürliche Zahl einschließlich der Null. Der Begriff lässt sich auch auf unendliche Mengen verallgemeinern; es stellt sich heraus, dass zwei unendliche Mengen nicht gleichmächtig sein müssen. Die Mächtigkeit einer Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} wird im Allgemeinen mit $|M|$, gelegentlich auch mit Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \#M} notiert.

Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen

Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} Element einer Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} , so schreibt man dafür formal: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in M} . Die Verneinung (Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ist kein Element von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} ) schreibt man als: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\notin M} . Historisch geht das Elementzeichen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \in } zurück auf den griechischen Buchstaben ε als Anfangsbuchstabe von εστί (estí, es ist) und wurde 1889 von Giuseppe Peano zum ersten Mal verwendet.

Gleichheit von Mengen und Extensionalität

Gleichheit

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=B:\Longleftrightarrow \forall x\left(x\in A\,\Leftrightarrow x\in B\right)}

Tatsächlich wird eine Menge $A$ aber meist intensional beschrieben. Das heißt: Es wird eine Aussageform Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)} angegeben (mit einer Objektvariablen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} aus der wohlbestimmten Definitionsmenge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} von $P$), sodass Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in A} genau dann gilt, wenn Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)} zutrifft. Dafür schreibt man dann:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\{x\mid x\in D\land P(x)\}}

oder auch kürzer

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\{x\in D\mid P(x)\}} .

Zu jeder Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} gibt es viele verschiedene Aussageformen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)} , die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x)} und $Q(x)$ dieselbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich in dieser Form formulieren: „Sind Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x\in D\mid P(x)\}} und Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x\in D\mid Q(x)\}} die gleiche Menge?“

Viele Gleichheitsbeweise benutzen die Äquivalenz Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=B\iff (A\subseteq B\land B\subseteq A)} .

Extensionalität

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Mengen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man ihre Extensionalität (von lateinisch extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes).

Unendliche Mengen müssen aber meist „intensional“ (beschreibende Mengenschreibweise) beschrieben werden (von lateinisch intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung oder Eigenschaft beschrieben, die alle Elemente der Menge (und nur diese) erfüllen: beispielsweise $G:=\{x\in \mathbb {N} \mid x{\bmod {2}}=0\land x>2\}$, gelesen „sei Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} die Menge aller Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , für die gilt: $x$ ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2“ oder kürzer: „sei $G$ die Menge aller geraden natürlichen Zahlen $>2$“.

Es ist teilweise schwer zu entscheiden, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Dafür muss festgestellt werden, ob die Eigenschaften aus den intensionalen Beschreibungen logisch äquivalent sind (wenn die eine Eigenschaft wahr ist, ist es auch die andere, und umgekehrt).

Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit $\emptyset$ oder auch $\{\}$ bezeichnet und hat die Mächtigkeit $|\emptyset |=0$. Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede „andere“ leere Menge, die die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich. Folglich sind $\emptyset$ und $\{\emptyset \}$ verschieden, da letztere Menge eine andere Menge als Element enthält.

Nichtleere Menge

Eine nichtleere Menge ist eine Menge, die nicht die leere Menge ist. Eine nichtleere Menge enthält daher mindestens ein Element. Die Mächtigkeit einer nichtleeren Menge ist größer als 0.

Teilmenge

File:Set subsetAofB.svg

A ist eine (echte) Teilmenge von B

Eine Menge $A$ heißt Teilmenge einer Menge $B$, wenn jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist.

$B$ wird dann Obermenge (selten: Übermenge) von $A$ genannt. Formal:

${A}\subseteq {B}:\Longleftrightarrow \forall x\left({x}\in A\rightarrow x\in B\right)$.

Insbesondere ist also auch jede Menge A Teilmenge von sich selbst: ${A}\subseteq {A}$. Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge.

$A$ ist echte Teilmenge von $B$ (oder $B$ ist echte Obermenge von $A$), wenn $A$ Teilmenge von $B$ ist, aber von $B$ verschieden, also jedes Element aus $A$ auch Element von $B$ ist, aber (mindestens) ein Element in $B$ existiert, das nicht in $A$ enthalten ist.

Die Relation „ist Teilmenge von“ bildet eine Halbordnung. Die Relation „echte Teilmenge“ ist eine strenge Halbordnung.

Es sind zwei Notationen für Teilmengen gebräuchlich:

• ${A}\subseteq {B}$ für „Teilmenge“ und ${A}\subset {B}$ für „echte Teilmenge“ oder
• ${A}\subset {B}$ für „Teilmenge“ und $A\subsetneq B$ für „echte Teilmenge“.

Das erstgenannte System entspricht dem vom Bertrand Russell (vgl. Principia Mathematica) eingeführten und verdeutlicht die Analogie zu den Zeichen $\leq$ und $<$. Es wird in diesem Artikel verwendet, es sind jedoch beide Systeme weit verbreitet.

Die Negation der Relationen $\in$, $\subset$ und $\subseteq$ kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch $\notin$. Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von $x\in A$ auch $A\ni x$, anstelle von $A\subseteq B$ auch $B\supseteq A$ und anstelle von $A\subset B$ auch $B\supset A$ geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.

Schnittmenge (Schnitt, auch „Durchschnitt“)

File:Venn0001.svg

Schnittmenge $A\cap B$

File:PolygonsSetIntersection.svg

Beispiel für eine Schnittmenge

Siehe auch: Konjunktion (UND)

Gegeben ist eine nichtleere Menge $U$ von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von $U$ ist die Menge der Elemente, die in jeder Elementmenge von $U$ enthalten sind. Formal:

$\bigcap U:=\bigcap _{a\in U}a=\{x\mid \forall a\in U:x\in a\}$.

Die Schnittmenge von $U$ ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge $X$ gilt:

$X\subseteq \bigcap U\iff \forall a\in U:X\subseteq a$.

Elementmengen ohne gemeinsame Elemente heißen elementfremd oder disjunkt. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge.

Ist $U$ eine Paarmenge, also $U\,=\{A,B\}$, so schreibt man für $\bigcap U$

$\bigcap \,\{A,B\}=\{x\mid \left(x\in {A}\right)\land \left(x\in {B}\right)\}=:{A}\cap {B}$

und liest dies: $A$ geschnitten mit $B$ (oder: Der Durchschnitt von $A$ und $B$) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind.

Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen ${A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}$ verallgemeinern.

Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen:

Die Elemente der Menge $U$, die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit $A_{\lambda }$ bezeichnet. Es wird eine „Indexmenge“ $\Lambda$ (Lambda) eingeführt, sodass $U=\{A_{\lambda }\mid \lambda \in \Lambda \}$ ist. Die Schnittmenge $\bigcap U$ wird dann geschrieben als:

$\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:=\{x\mid \forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\}$,

also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{\lambda }} enthalten sind.

Eine ältere Bezeichnung für den Durchschnitt ist inneres Produkt oder Produkt erster Art. Dieses wird dann auch als

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dotsc \cdot A_{n}} oder Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}A_{i}}

geschrieben. Insbesondere die letzte Schreibweise ist von vielen Autoren für das kartesische Produkt (siehe unten) reserviert und sollte daher nicht für die Schnittmenge verwendet werden, um Missverständnisse zu vermeiden.

Vereinigung (Vereinigungsmenge)

File:Venn0111.svg

Vereinigungsmenge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cup B}

File:PolygonsSetUnion.svg

Beispiel einer Vereinigungsmenge

Siehe auch: Disjunktion (ODER)

Dies ist der zur Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} ist die Menge der Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} enthalten sind. Formal:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcup U:=\bigcup _{a\in U}a=\{x\mid \exists a\in U:x\in a\}} .

Die Vereinigungsmenge von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} gilt:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcup U\subseteq X\iff \forall a\in U:a\subseteq X} .

Im Gegensatz zu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcap U} ist Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcup U} auch dann erklärt, wenn Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} leer ist, und zwar ergibt sich Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcup \emptyset =\emptyset } .

Für Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U\,=\{A,B\}} schreibt man (analog zum Durchschnitt):

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcup \,\{A,B\}=\{x\mid \left(x\in {A}\right)\lor \left(x\in {B}\right)\}=:{A}\cup {B}}

und liest dies: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} vereinigt mit Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} (oder: Die Vereinigung von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} und Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} ) ist die Menge aller Elemente, die in Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} oder in Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} enthalten sind. Das „oder“ ist hier nicht-ausschließend zu verstehen: Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

Wenn Mengen keine gemeinsamen Elemente enthalten, sie also disjunkt sind, verwendet man auch das Zeichen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\dot {\cup }}} für die Vereinigung dieser disjunkten Mengen. Während jedoch das Zeichen für die Vereinigung Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cup B} intuitiv mit dem des Junktors Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lor } (oder) identifiziert werden kann, muss zwischen dem Zeichen für die disjunkte Vereinigung Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A{\mathbin {\dot {\cup }}}B} und dem Junktor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\dot {\vee }}} (ausschließendes oder) unterschieden werden.

Unter Verwendung einer geeigneten Indexmenge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Lambda } schreibt man:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:=\{x\mid \exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\}} .

Diese Schreibweise ist auch für die Vereinigung endlich vieler Mengen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}} geeignet.

Als ältere Bezeichnung hierfür wird zuweilen noch die Summe verwendet und dann geschrieben

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{1}+A_{2}+\dotsb +A_{n}} oder Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}} .

Vorsicht: Der Begriff Summe wird heute auch für die disjunkte Vereinigung von Mengen benutzt.

Differenz und Komplement

File:Venn0100.svg

Differenzmenge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\setminus B} : „A ohne B“

Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge (auch Restmenge) von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} und Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} (in dieser Reihenfolge) ist die Menge der Elemente, die in Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} , aber nicht in Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} enthalten sind. Formal:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\setminus B:=\{x\mid \left(x\in A\right)\land \left(x\not \in B\right)\}.}

Die Differenzmenge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\setminus B} ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} gilt:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\setminus B\subseteq X\iff A\subseteq B\cup X} .

Die Differenz ist im Gegensatz zu Schnitt und Vereinigung weder kommutativ noch assoziativ.

Ist Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\subseteq A} , so heißt die Differenz Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ A\setminus B} auch Komplement von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} in Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . Dieser Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} eine Grundmenge ist, die alle in einer bestimmten Untersuchung in Frage stehenden Mengen umfasst. Diese Menge muss dann im Folgenden nicht mehr erwähnt werden, und

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B^{\mathsf {C}}:=\{x\mid x\not \in B\}}

heißt einfach das Komplement von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} . Andere Schreibweisen für Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B^{\mathsf {C}}} sind Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\overline {B}}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \complement B} oder Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \displaystyle B'} .

Symmetrische Differenz

Siehe auch: Kontravalenz (XOR)

File:Venn0110.svg

Symmetrische Differenz Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bigtriangleup B} :
„A ohne B“ vereinigt mit „B ohne A“

Die Menge

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bigtriangleup B:=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}

wird als symmetrische Differenz von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} und Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} bezeichnet. Es handelt sich um die Menge aller Elemente, die jeweils in einer, aber nicht in beiden Mengen liegen. Bei Verwendung des ausschließenden Oder („entweder-oder“: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \veebar } bzw. Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nleftrightarrow } ) kann man dafür auch

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bigtriangleup B:=\{x\mid \left(x\in A\right)\veebar \left(x\in B\right)\}}

schreiben.

Kartesisches Produkt

Die Produktmenge oder das kartesische Produkt ist eine weitere Art der Verknüpfung von Mengen. Die Elemente des kartesischen Produkts zweier Mengen sind allerdings keine Elemente der Ausgangsmengen, sondern komplexere Objekte. Formal ist die Produktmenge von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} und Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} definiert als

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\times B:=\{\left(a,b\right)\mid a\in A,b\in B\}}

und damit die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} und deren zweites Element aus Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} ist. Unter der Verwendung von n-Tupeln lässt sich das kartesische Produkt auch für die Verknüpfung endlich vieler Mengen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}} verallgemeinern:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{1}\times \dotsb \times A_{n}:=\{\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)\mid a_{i}\in A_{i}~{\text{für}}~i=1,\ldots ,n\}} ,

Sind die Mengen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}} alle gleich einer Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} , so schreibt man für die Produktmenge auch kurz Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^{n}} . Für die Produktmenge einer Familie von Mengen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} mit einer beliebigen Indexmenge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Lambda } wird ein allgemeiner Funktionsbegriff benötigt. Sie ist die Menge aller Funktionen, die jedem Indexelement Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda } ein Element der Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{\lambda }} zuordnet, also

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:=\{f\colon \Lambda \to \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda :f\left(\lambda \right)\in A_{\lambda }\}}

Ob ein solches kartesisches Produkt nicht leer ist, das heißt, ob es überhaupt stets solche Funktionen wie auf der rechten Seite dieser Definitionsgleichung angegeben gibt, hängt eng mit dem Auswahlaxiom zusammen.

Wenn die Mengen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{\lambda }} alle gleich einer Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} sind, schreibt man die Produktmenge auch kurz als Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^{\Lambda }} .

Potenzmenge

Die Potenzmenge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ist die Menge aller Teilmengen von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} .

Die Potenzmenge von Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} enthält immer die leere Menge und die Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . Somit ist Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}} , also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{a\}} ist Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a\})=\{\emptyset ,\{a\}\}} , enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Besitzt $A$ genau $n$ Elemente, so hat Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} die Elementanzahl Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{n}} , das heißt Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}} . Dies motiviert auch die Schreibweise Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{A}} anstelle Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} .

Bei unendlichen Mengen ist der Begriff nicht unproblematisch: Es gibt nachweislich kein Verfahren, das alle Teilmengen auflisten könnte. (Siehe dazu: Cantors zweites Diagonalargument.) Bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre (etwa ZFC) muss die Existenz der Potenzmenge durch ein eigenes Potenzmengenaxiom gefordert werden.

Konstruktive Mathematiker betrachten deshalb die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich, zu dem – je nach Fortgang der mathematischen Forschung – immer noch neue Mengen hinzugefügt werden können.

Beispiele für Mengenoperationen

Wir betrachten die Mengen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=\{1,2,3\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\{1,2\}} und Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B=\{1,3\}} . Es gelten beispielsweise:

• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\in A} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\notin B}
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X\subseteq X}
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subset X} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\subset X} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\nsubseteq B}
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cap B=\{1\}}
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cup B=X}
• Für die Komplemente bezüglich Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} gilt Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^{\mathsf {C}}=\{3\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B^{\mathsf {C}}=\{2\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X^{\mathsf {C}}=\emptyset } , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset ^{\mathsf {C}}=X} .
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\setminus B=\{2\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\setminus A=\{3\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X\setminus A=\{3\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\setminus X=\emptyset }
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bigtriangleup B=\{2,3\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bigtriangleup X=\{3\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\bigtriangleup X=\{2\}}
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |X|} = 3, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |A|} = Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |B|} = 2, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\emptyset |} = 0, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|\{\emptyset \}\right|} = 1
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}
• ${\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,A\cap B,B^{\mathsf {C}},B\setminus A,A,B,A\bigtriangleup B,A\cup B\}$
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\times B=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\times \{3\}=\{(1,3),(2,3)\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^{2}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{3\}^{3}=\{(3,3,3)\}}
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset \notin \emptyset } , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset \in \{\emptyset \}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset \subset A}
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathcal {P}}\left(\{\emptyset \}\right)=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}}
• Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\times \emptyset =\emptyset \times A=\emptyset }

Konkrete Beispiele seien hier nochmals benannt.

• Die Menge aller zweistelligen „Schnapszahlen“ lautet Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lbrace 11,\,22,\,33,\,44,\,55,\,66,\,77,\,88,\,99\rbrace } . 33 ist ein Element dieser Menge, 23 ist es nicht.
• Die Menge der natürlichen Zahlen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {N} =\lbrace 1,\,2,\,3,\dotsc \rbrace } ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z} =\lbrace \dotsc ,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\dotsc \rbrace } .

Weitergehende Begriffe

File:NumberSetinC.svg

Spezielle Zahlenmengen: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

• Teilmengen der reellen Geraden, der Ebene oder des euklidischen Raumes oder sogar Teilmengen in beliebigen topologischen Räumen werden nicht selten auch Punktmengen genannt. Hier ist letzterenfalls im englischen Sprachraum auch heute noch der Terminus point set topology geläufig.
• In der modernen Mathematik werden die Zahlenbereiche rein mit den Methoden der Mengenlehre (mit der leeren Menge als einzigem Grundbaustein) schrittweise aufgebaut, von den Primzahlen und natürlichen Zahlen über die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen und weiter zu den komplexen Zahlen und noch darüber hinaus.
• In der Schule hat die Mengenlehre unter dem Schlagwort Neue Mathematik zeitweise große Bedeutung erlangt.
• Bei unendlichen Mengen treten besondere Phänomene hinsichtlich der üblichen Ordnungsrelationen auf.
• Zur Veranschaulichung der Beziehungen zwischen Mengen dienen Mengendiagramme.
• Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge und denen einer anderen werden durch „Zuordnungen“ (Relationen) beschrieben, eindeutige Zuordnungen durch „Abbildungen“ (Funktionen).

Pädagogische Kontroverse um „Neue Mathematik“

Die Unterrichtung der Mengenlehre an westdeutschen Schulen Anfang der 70er Jahren führte zu pädagogischen und gesellschaftlichen Kontroversen. Für weitergehende Informationen siehe Neue Mathematik.

Literatur

• Klaus Kursawe: Mengen, Zahlen, Operationen. (= Scripta Mathematica). Aulis Verlag Deubner, Köln 1973, ISBN 3-7614-0176-0.
• Hans-Dieter Gerster: Aussagenlogik, Mengen, Relationen. (= Studium und Lehre Mathematik). Franzbecker, Hildesheim 1998, ISBN 3-88120-287-0.
• Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1928. (Nachdruck: Dr. Martin Sändig, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4)
• Erich Kamke: Mengenlehre. 6. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1969.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
• H. Schinköthe: Mengen und Längen, Lehrbuch der elementaren Grundlagen mathematischen Denkens und seiner Entwicklung für die Bereiche: Kindergarten, Vorschule, Grundschule, Sonderschule, Rechenschwächetherapie. RESI, Volxheim 2000 (Libri/BoD), ISBN 3-8311-0701-7.
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-01444-4, doi:10.1007/978-3-642-01445-1. 

Weblinks

Wiktionary: Menge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre: Menge – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfungen zwischen Mengen – Lern- und Lehrmaterialien

Commons: Boolesche Algebra – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Literatur über Mengen im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek