Panjer-Algorithmus

Die Panjer-Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable

$S:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}:=\sum _{n=0}^{\infty }\chi _{\{\omega \in \Omega |N(\omega )=n\}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

zu berechnen. Dabei sind $N$ und $X_{i}$ Zufallsvariablen, welche ein kollektives Modell bilden, und $\chi$ bezeichnet die Indikatorfunktion.

Der Algorithmus wurde in einer Publikation von Harry Panjer erstmals veröffentlicht. Er wird im Versicherungswesen häufig benutzt.

Vorbedingungen

Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable $\textstyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$ interessiert, wobei $N$ und $X_{i}$ die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

Schadenanzahlverteilung

$N$ ist eine „Schadenanzahlverteilung“, d. h. $N\in \mathbb {N} _{0}$. $N\,$ ist unabhängig von $X_{i}\,$.

Weiterhin muss $N$ ein Element der Panjer-Klasse sein. Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in $\mathbb {N} _{0}$, welche die folgende Relation erfüllen: $\textstyle p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1}$ mit $~~k\geq 1$ und für $a$ und $b$ mit $a+b\geq 0$. Der Wert $p_{0}\,$ wird so bestimmt, dass $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1$ erfüllt ist.

Sundt bewies im Paper, dass nur die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei $W_{N}(x)\,$ die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bezeichnet.

Verteilung	$P[N=k]$	$a$	$b$	$p_{0}$	$W_{N}(x)$	$E[N]$	$Var(N)$
Binomial	${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$	${\frac {p}{p-1}}$	${\frac {p(n+1)}{1-p}}$	$(1-p)^{n}\,$	$(px+(1-p))^{n}\,$	$np\,$	$np(1-p)\,$
Poisson	$e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$	$0\,$	$\lambda \,$	$e^{-\lambda }\,$	$e^{\lambda (x-1)}\,$	$\lambda \,$	$\lambda \,$
Negative Binomial	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}$	$1-p\,$	$(1-p)(r-1)\,$	$p^{r}\,$	$\left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}\,$	${\frac {r(1-p)}{p}}\,$	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}\,$

Einzelschadenverteilung

Wir nehmen an, dass $X_{i}\,$ identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, welche unabhängig von $N\,$ sind. Weiterhin muss $X_{i}\,$ auf einem Gitter $h\mathbb {N} _{0}$ mit Gitterlänge $h>0\,$ verteilt sein.

$f_{k}=P[X_{i}=hk].\,$

Rekursion

Der Algorithmus verwendet eine Rekursion, um die Wahrscheinlichkeiten $g_{k}=P[S=hk]\,$ zu berechnen.

Der Startwert ist: $g_{0}=W_{N}(f_{0})\,$

mit den Spezialfällen

$g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b){\mbox{ für }}a=0,\,$

und

$g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}{\mbox{ für }}a\neq 0.$

Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:

$g_{k}=P[S=hk]={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.$

Beispiel

Das Beispiel zeigt die approximierte Dichtefunktion von $\textstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}$ wobei $\textstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)$ und $\textstyle X\,\sim \,{\text{Frechet}}(1.7,1)$. Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite $h=0.04$ diskretisiert (siehe auch Fréchet-Verteilung).

File:Expba07.jpg

Siehe auch

• Panjer-Verteilung

Literatur

• Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik, Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7.