Die Pränexform ist eine mögliche Normalform, in der Aussagen der Prädikatenlogik dargestellt werden können. Sie wird unter anderem als Vorstufe zur Skolemform benötigt.
Eine Aussage in der Prädikatenlogik erster Stufe befindet sich in Pränexform, wenn alle Quantoren (Beschreibungen des Geltungsbereichs) außerhalb bzw. vor der eigentlichen Formel stehen. Enthält die Pränexform zusätzlich nur Konjunktion, Disjunktion und Negation (unmittelbar vor Atomen) als Junktoren, so wird sie auch als verneinungstechnische Normalform bezeichnet.
In der klassischen Prädikatenlogik gibt es zu jeder Formel eine logisch äquivalente Formel in Pränexform. In der intuitionistischen Logik ist das nicht notwendig gegeben.
Eine Formel in bereinigter Pränexform ist erfüllbar, wenn ihre Skolemform erfüllbar ist.
Mathematische Definition
Eine Formel Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} der Prädikatenlogik befindet sich in Pränexform, wenn sie von der Form
- Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F = Q_1 y_1 Q_2 y_2 \dots Q_k y_k \hat{F}}
ist, mit
- und
- Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q_1,\dots,Q_k\in \left\{ \forall, \exists \right\}} .
In darf kein Quantor vorkommen.
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q_1 y_1 Q_2 y_2 \dots Q_k y_k} heißt Präfix, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{F}} ist die Matrix.
Nicht-Eindeutigkeit
Die Pränexform ist nicht eindeutig.[1] So hat die Formel
- Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x p(x) \rightarrow \forall y q(y)}
die beiden Pränexformen
- Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exists x \forall y (p(x) \rightarrow q(y))}
und
- Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall y \exists x (p(x) \rightarrow q(y))}
Beispiel
Die Ausgangsformel lautet:
- Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x.P(x)\land \forall y.Q(y) \land \forall z.R(z,y)}
Es kommt die Variable y sowohl gebunden als auch frei vor. Dies darf in der Pränexform aber nicht sein. Deshalb wird eine neue Variable eingeführt: w. Nach der Anpassung sieht das nun so aus:
- Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x.P(x)\land \forall w.Q(w) \land \forall z.R(z,y)}
Nun kommt jede Variable entweder gebunden oder frei vor und somit können wir die Quantoren alle nach vorn „ziehen“, was dann folgendermaßen aussieht:
- Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x.\forall w.\forall z.(P(x)\land Q(w)\land R(z,y))}